реально ли требовать в суде компенсацию морального ущерба при задержке выплат страховой компанией виновника?
Нет не реально, моральный ущерб можно требовать только с причинителя вреда (в данном случае водителя).
Моральный вред - это причинение физических и нравственных страданий (все Вам надо доказывать)